Introducción

En matemáticas $\pi$ es una constante cuyo valor es la razón entre el perímetro de un círculo con respecto a su diámetro, es decir, cuantas veces cabe el diámetro en el perímetro del círculo.

Figura 1. Razón entre el el perímetro y el diámetro de un círculo.

Arquímides de Siracusa(c. 287 a. C. ? c. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Él fue probablemente el primero en encontrar un método para aproximar el valor de $\pi$ de manera iterativa.

Dada una circunferencia, el método de Arquímides consiste en dibujar un polígono inscrito y otro circunscrito y calculaba el perímetro de ambos polígonos, siendo estos perímetros el límite superior(polígono circunscrito) y límite inferior(polígono inscrito), véase figura ? .

Figura 2. Método de Arquímides para obtener PI.

Con base en lo anterior Arquímides pudo determinar el intervalo numérico en el que se encuentra el valor exacto de $\pi$, ecuación ? .

$3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac{1}{7}$

Sabemos que el perímetro de una circunferencia es igual a $2 * \pi * radio$ o $\pi * diametro$ y que el perímetro de un polígono regular de n lados es $n * longitudDeLado$. Las fórmulas ? y ? obtienen el valor aproximado de $\pi$ para para los límites inferior y superior para polígonos inscritos y circunscritos respectivamente.

$p = 2rsin(\frac{\theta}{2})n \approx \pi$
$p = 2rtan(\frac{\theta}{2})n \approx \pi$

Donde n es el número de lados del polígono, r el radio de la circunferencia y $\theta$ es el ángulo interno formado por los lados del polígono. Para un caso general podemos asumir que el diámetro del círculo es igual a la unidad, por tanto $r=\frac{1}{2}$, reduciendo las fórmulas ? y ? a

$p = sin(\frac{\theta}{2})n \approx \pi$
$p = tan(\frac{\theta}{2})n \approx \pi$

Según las fórmulas ? y ? solo necesitamos conocer el valor de n el cual lo sabemos de antemano y el valor de $\theta$, que calculamos con

$\frac{2\pi}{n}~~~~~~siendo~\pi=3.14159$

En la ecuación ? se remarca que en esta fórmula debe emplearse el valor de $\pi$ con la precisión que empleamos comúnmente para el calculo de $\theta$.

Por cierto, si se preguntan de donde resultan las formulas una imagen puede ayudar.

Figura 3. Derivación de formulas.

Cuanto mayor sea el número de lados del polígono mayor sera la precisión del valor de $$\pi$$. Así, por ejemplo, para n = 3, n = 8 y n = 17280 usando un polígono inscrito tenemos que el valor aproximado de $$\pi$$ es 2.598076211353316, 3.0614674589207183 y 3.1415926362832276 respectivamente.

Aplicaciónes

Hoy por la mañana me levante y por suerte tenía un poco de tiempo libre así que prendí mi ordenador y decidí entrar la arena de Topcoder y practicar un poco(para no quedar en los últimos lugares como siempre) y entonces me encontré con el problema Archimedes empleado en el SRM 151. Sinceramente no tuve idea de como resolver el problema, no soy muy matemático que digamos, así que investigue un poco y pude resolver el problema. En este post he expuesto lo que encontré, espero que les sirva. Les dejo la solución del problema en C++ por si acaso.

#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

class Archimedes
{
public:
    double approximatePi(int numSides) {
        double pi = acos(-1);
        double angle = 2 * pi / numSides;
        return numSides * sin(angle / 2);
    }
};

int main()
{
    Archimedes archimedes;
    cout << archimedes.approximatePi(4) << endl;
    return 0;
}

Referencias

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80

[2] http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/approximating-pi.html